宋元时期我国数学，特别在代数学方面，出现了不少辉煌成就，比欧洲人的代数学超前了几个世纪。金、元之际，北方的数学家创立了天元术，更是推动数学的蓬勃发展。早在1920年代，钱宝琮就开始了金元之际的数学史研究。1927年5月，他在南开大学的“教授学术讨论会”上就作了《金元之际中国代数术》的学术报告，令南开师生难于忘怀。1930年代，浙江大学油印出版了钱宝琮自编的《算学史讲义》7。其中“金元之际代数术”章节有云：“中国在十三世纪之代数术，以天元代未知数，称曰天元术，未知数不止一个者，以天元、地元、人元、物元代之，谓之四元术。清道光朝算学家总称之曰元学，其演算亦用筹策，所列者只有各项之系数，以所处地位之不同，表示未知量之性质与其指数之高下，与今之分离系数法（SyntheticMethod）同（用）意相仿。金元之际，算书失传甚多，其发展时之历史，已不可详考。元学书之传者，今以李冶《测圆海镜》（1248年）为最古，所有算式，只立一元。利用多元之元学书则仅存朱世杰《四元玉鉴》（1303年）一种……李冶《测圆海镜》卷七曾引《铃经》勾外容圆算法，《益古演段》所演问题，当即蒋周之《益古》，然蒋周、石信道、刘汝锴等之撰著，皆在李冶、元裕撰书之前。又东平、太原、平阳、博陆等地，均在黄河以北，上述诸书，当为金代著作，故《宋史•艺文志》未为采录。……综此数端，则元学之产生，在金而不在宋也。”西迁期间，钱宝琮弦歌不辍，继续金元之际的数学史研究。在其留存的西迁学术遗稿里有以下文字：“吾国之天元术发明于金代，昌盛于元初。在十三世纪之后半，畴人辈出，著述如林，大都阐明天元如积之学，不特在技术方面猛图改进使天元术扩充至二元、三元、四元之术，且在应用方面务求推广用以解决前人所不能解之问题。朱世杰撰成其杰作《四元玉鉴》，而此学乃登峰造极矣。”钱宝琮《金元之际数学之传授》抽印本1940年9月，浙江大学师范学院创刊《国立浙江大学师范学院院刊》，院长及院刊主编王琎在创刊号弁言写道：“浙大师院同人远承政府教育当局建国植人之宗旨，近体本校校长求是朴学之精神。本教学相长之意，为切问近思之功。于讲学之余，作著述之事。凡问题之有关于教育、学术、文化、科学者，如有所见，不惮详加讨论，发为文篇，冀以其一得之真解，贡献于社会，就正于国人，且借此与国内之共同从事于教育者，互通消息，以收切磋琢磨之益。”同为师范学院教授的钱宝琮积极响应，将自己十多年研究整理的《金元之际数学之传授》论文发表于该院刊第一集第二册。钱文引言云：“近人纂述教育史者类皆详于各代教育制度与各家教育学说，而略于当时之教育实施状况。至于专门学术之授受则存而不论。余治金元之际数学史，诸家薪传之盛况，尚可稽考。聊贡所知以备大雅参考。”在简要介绍古代小学算术发展、唐宋的数学教育制度、元初的私人数学教育之后，钱宝琮详述金代天元术之发展、元初诸家之传授，分析元代数学始盛终衰的原因，得出如下结论：“中国数学以元初为最盛。学人蔚起，著作如林，于数学史上放特殊光彩。考其所由，则为天元术之新发现，导源于金代者也……若金代数学之发展超越前代，自非南宋所可伦比，又乌可因其久为沦陷之区而少之耶”8。“按中国天元术之发明，较亚拉伯人代数术后三百余年，而元初数学之造诣反在同时期西洋代数之上。进步之速与造就之深，实为中国数学史上所罕见。然至朱世杰四元术出，筹策之用无可更事扩充。”9在新近查阅到的《金元之际数学之传授》抽印本原稿中，笔者发现，钱宝琮有如下修订手迹：“南宋数学以秦九韶《数书九章》（1247）为最有价值。九韶为四川人，转至东南，寓居湖州。《数学九章》自序云：‘早岁侍亲中都，因得访习于太史。又尝从隐君子受数学’。其大衍求一术之‘立天元一’，疑得自金人，非南宋另有天元术也”。钱宝琮在《思想与时代》杂志第45期发表的《科学史与新人文主义》一文又指出：“我国数学之进步与朝政之治乱关系极少。汉、唐及明盛世之人安时处顺，智力较强者多趋文艺之途，对于数学研究兴味反少。三国、南北朝及金元之际，中国数学之贡献独多。”1956年，钱宝琮奉调北京中国科学院。他在历史研究所作了几次数学史研究学术报告。应笔者请求，何兆武回忆道：“记得有一次他（指钱宝琮）谈到元代中国的代数学在解三次方程上遥遥领先于世界。那是因为当时河防筑堤需用土方，土方是一个立体，所以要求有能计算长宽高的三次方程。他的这一讲法给了我一个深刻的启迪。”《数学的实用价值》1942年，应理学院院长胡刚复之邀，钱宝琮在湄潭“纪念周”给浙大师生作《数学的实用价值》学术演讲。他认为，任何一种学科都能实用，就是诗词等纯文艺，也能应用。数学的适用价值比其他各科更大，理由是因为数学是抽象的学科。数学的起源很早，甚至在有史以前便有数学的应用，由应用而达到抽象的理想而能成为一种学问时，就有了数学。所以数学史便是适用科学的历史，其他科学也是这样，譬如天文学的起源是由于农事慢慢转到纯天文学，物理、化学也不例外。一种科学的发生是因为应用，因为应用才发生研究的兴趣；因为有兴趣，才去追求真、善、美，尤以求真的最为高尚，可以求烦恼的解除，可以求思想的超脱，对做人也很有帮助。求实用与求学问的研究态度不同，极古时代，都有求实用的精神，希腊却有求学问的精神，所以希腊成为世界数学的领导者，他们研究的《几何原本》，理想高超，应用范围也大。实验的几何学，有测高、测远、测大、测小的方法，已经足够应用，如不向理论的道上发展，数学便只会到实用为止，这样便不能成为一种科学。工程学、天文学等也失去了根据，知识的应用是互相依靠的，所以理论是少不了的。譬如微积分，当初不过是一种理论，假使事先不发明，等到今日需要时再去发明，文化就一定要延迟一二百年。中国是农业国家，田地测量的方法早就发明。孔子也学过会计，汉朝就有《九章算术》，由小学的算术一直到《几何原本》才能解决的问题无不备，应用是足够了，学以致用，要济世必先有学问，因此有人误解，不致用的便不必去学，这是中国历史的一个缺点。后来中国虽然也有几个人研究理论的科学，但却受人唾骂，因此中国的实用科学早有专书，无论数学、工程学都比外国早，如治河一事，计算人数、计算地形，非要三次方程式不可，中国早就解决了这问题，只是理论太少，所以现在科学落后，不能不向外国人学习。就是一直到现在，一部分人还以为数学是一种工具科学，假使个个有此观念，中国的数学就永远也不会进步。在演讲末尾，钱宝琮归纳出两点结论：一是数学起于实用，但只有实用也绝没有数学，理论与实用相互为用，不是单单注意几个公式可以了事；二是研究数学，不能因实用而放弃理论，同时也不能因为理论而偏废实用，二者不可缺一。《无书叹》浙大西迁时期，钱宝琮的数学史研究并非一帆风顺，遭遇过不少曲折与困难。1937年11月，日军侵占嘉兴，家庐被焚，钱宝琮数十年收集的250多种算书古籍荡然无存，怆恻之情，难以去怀：“丁丑倭寇深，四海蒙国难。兵氛满家乡，流亡空里闬。吾庐乃焚如，烈焰何人煽。最怜环堵书，弃置任凌乱。罔罗垂廿年，缥缃毁一旦”。他在《无书叹》诗作感叹：“汲古苦无深井绠，守残空对短檠灯。关山万里成何事，著述千秋愧未能。”不得已，钱宝琮于1941年11月15日致函李俨求助：弟自民二十六年秋携眷随浙大西迁，由杭州而建德而江西泰和而广西宜山而贵州湄潭，四年中转辗五六千里。虽风尘委顿，未免客路兴悲，而教学生涯依然故我，尚堪告慰。惟所遗憾者，二十六年秋仓卒逊地浙东，弟历年所聚中国数学书二百余种，悉委弃嘉兴舍间。不料倭寇到嘉之日，屋舍被焚，几年积蓄尽毁于火。随身携带幸获保存者，仅微波[榭]本《算经十书》及《测圆海镜》、《四元玉鉴细草》三四种而已。浙大原有中国数学旧籍二三十种亦未能带出。近年以来因参考无着，不克再事搜罗史料，考订旧文，弟之中算史工作不得已暂告停顿。……兹恳者，浙大数学系近设理科研究院数学部，教育部特发购书经费四万元，敝系主任拟以其中万余元为购置中国数学旧籍之用。但西南各地旧书铺绝无仅有，中国数学旧书更无法访问，徒唤奈何。我兄尊藏甚富，其中必有重出之本，如肯割爱出让，敝校师生无任欢迎，至弟本人受赐尤多。务请开示书目，标定价格，赐复为祷。倘蒙俞允，再商付款及运输方法可也。李俨得信后，就将其自藏中算书籍12箱，以残本《古今算学丛书》45册寄往浙大，并以“事关学术”致函严敦杰。严亦在重庆为浙大购得《测圆海镜通释》等中算书籍。严敦杰回忆说：“在当时这样困难的情况下（连起码的生活条件也很艰苦），钱老还孜孜不倦地开展中国数学史研究及培养人才。李老的‘事关学术’四个字表达了对中国数学史事业的极大关心。这些不得不令人肃然起敬，我们后学都应该铭记在心。”《中国古代数学发展之特点》1944年10月24日，英国皇家学会会员、剑桥大学生物化学家、时任英国驻华文化科学代表团团长李约瑟博士访问浙大湄潭，作题为《中国科学史与西方之比较观察》（另有文献译为《中国之科学与文化》）演讲，指出：中国对于炼丹、营养、化学及数学上之贡献，不亚于他国，但近世科学之不能兴起，由于环境，即四个抑制因素，如地理、气候、经济与社会。后二者乃由中国之无商人阶级……。他从中国官僚封建制度，特别是“官僚施治政府”的特点来解释为什么近代科学产生于西方而未在中国发生。演讲完毕，浙大学者竺可桢、郑晓沧、王琎、钱宝琮等对于李约瑟提出的“现代实验科学与科学之理论体系，何以发生于西方而不于中国”的疑问进行了热烈讨论。钱宝琮的解答是，中国科学之所以不兴，是由于学以致用为目的，且无综合抽象之科学，不用演绎方法，更无归纳法。在1945年浙江大学夏令讲习会上，钱宝琮又作《吾国自然科学不发达之原因》演讲两次，指出：“我国历史上亦曾提倡过科学，而科学所以不为人重视者，实因中国人太重实用。如历法之应用早已发明。对于地圆之说，亦早知之。然因不再继续研究其原理，以致自然科学不能继续发展，而外国人则注重实用之外，尚能继续研究，由无用而至有用，故自然科学能大有发展。为什么我国民族太注重实用呢？实由地理、社会、文化环境使然。中国为大陆文化，人多以农业为主，只希望能自给自足之经济。”1947年，钱宝琮又指出：“愚尝推考中国自然科学不发达之原因，以为‘学以致用’四字为中国士人之大病，纯粹科学之探索往往不能直接应用，故废而不理。以纯粹科学为基础而发展之近世应用科学，亦无从产生矣。”10月25日，中国科学社湄潭区召开第12届年会，李约瑟以中国科学社名誉社员出席。钱宝琮在年会上作《中国古代数学发展之特点》专题演讲，历时一个多小时。他说：中国科学之开始，与西洋希腊时代相当。公元前1600年，AhmesPapyrus（阿美斯蒲篇）曾经发明实用量地方法，后来至柏拉图及欧几里得时，又在数学上建立了理论之基础。不过范围很狭，只是在几何学方面。中国之数学与西洋不同。中国数学约始于墨子，因其中间对于‘圆’、‘平’皆富有数学意义之解释。如圆——释曰同长也，平——释曰同高也。此即几何学圆面、直线的定义。……李约瑟听后感到兴奋，会后两位学者相谈甚欢。李约瑟制作的中国科学家名片中，将钱宝琮称为“中国数学史杰出权威”（CHIEN Bao -tsung eminent authority on hist. of Ch. maths）。10年之后出版的《中国科学技术史》（Science & Civilization in China）序言中，李约瑟没有忘记提及钱宝琮的名字和他的数学史研究。《读殷翰<质数之分布>》钱宝琮对数论也颇有研究，认为：“数论为数学之最老之一支而问题之未得解决者还是很多。关于数论的著作在Gauss以前大都为问题讨论集，并无有系统的研究。”1944年，在细读殷翰（Albert Ingham)所著《质数的分布》（Distribution of Prime Numbers）一书之后，他忍不住诗兴大发，以读后感入诗，阐述科学原理、科学史论证。这样的精思与功力，被挚友缪钺称为“别开生面，为古今人诗集中极为罕见者”。
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